彎矩是受力構件截面上的內(nèi)力矩的一種。通俗的說法:彎矩是一種力矩。另一種解釋說法,就是彎曲所需要的力矩,下部受拉為正(上部受壓),上部受拉為負(下部受壓)。它的標準定義為:與橫截面垂直的分布內(nèi)力系的合力偶矩。
計算公式M=θ·EI/L,θ轉角,EI轉動剛度,L桿件的有效計算長度。
定義及內(nèi)容
彎矩是受力構件截面上的內(nèi)力矩的一種,即垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力偶矩。其大小為該截面截取的構件部分上所有外力對該截面形心矩的代數(shù)和,其正負約定為是構件下凹為正,上凸為負(正負區(qū)分標準是構件上部受壓為正,下部受壓為負;反之構件上部受拉為負,下部受拉為正。在土木工程中,彎矩圖習慣繪于桿件受拉一側,在圖上可不注明正負號)。比如說一個懸臂梁,當梁端力為2kN,梁長為3m,剛固端彎矩為-6kN·m,而梁的跨中彎矩為-3kN·m,按這個做法可以簡單算,不過更深的算法要見《材料力學》了。
圖3中↓,M就是彎矩作用,v就是剪力作用,n就是軸力作用。
區(qū)分正負
一般而言,在不同的學科中彎矩的正負有不同的規(guī)定。規(guī)定了彎矩的正負,就可以將彎矩進行代數(shù)計算。
在列彎矩計算時,應用“左上右下為正,左下右上為負”的判別方法。凡截面左側梁上外力對截面形心之矩為順時針轉向,或截面右側外力對截面形心之矩為逆時針轉向,都將產(chǎn)生正的彎矩,故均取正號;反之為負,即左順右逆,彎矩為正。
對于土木工程結構中的一根梁(指水平向的構件),當構件區(qū)段下側受拉時,我們稱此區(qū)段所受彎矩為正彎矩;當構件區(qū)段上側受拉時,我們稱此區(qū)段所受彎矩為負彎矩。
PKPM給出的彎矩方向:
作用力方向(對基礎):軸力 N 壓為正(↓);
彎矩 M 順時針為正(-↓);
剪力 V 順時針為正(→)。
計算公式
彎矩公式:
Mmax=FL/2 (Mmax表示最大彎矩,F(xiàn)表示外力,L即為力臂)。
彎矩圖
彎矩圖是一種圖線,用來表示梁的各橫截面上彎矩沿軸線的變化情況??偨Y規(guī)律如下:
(1)在梁的某一段內(nèi),若無分布載荷作用,即q(x)=0,由d²M(x)/dx²=q(x)=0可知,M(x)是x的一次函數(shù),彎矩圖是斜直線。
(2)在梁的某一段內(nèi),若作用分布載荷作用,即q(x)=常數(shù),則d²M(x)/dx²=q(x)=常數(shù),可以得到M(x)是x的二次函數(shù)。彎矩圖是拋物線。
(3)在梁的某一截面內(nèi),若Fs(x)=dM(x)/dx=0,則在這一截面上彎矩有一極值(極大或極?。?。即彎矩的極值發(fā)生在剪力為零的截面上。
疊加原理
圖6-9 a、b、c分別畫出了同一根粱AB受q、M0兩種載荷作用、q單獨作用及M0單獨作用的三種受力情況。
在q、M0共同作用時
VA=ql/2+M0/l VS=ql/2+M0/l
從計算結果中可以看到,梁的支座反力和彎矩都是荷載(q、M0)的一次函數(shù),即反力或彎矩與荷載成線性關系。這時,g、M0共同作用F所產(chǎn)生的反力或彎矩等于g與M0單獨作用時所產(chǎn)生的反力或彎矩的代數(shù)和:
這種關系不僅在本例中存在,而且在其他力學計算中普遍存在, 即只要反力、彎矩(或其他量)與載荷成線性關系,則若干個載荷共同引起的反力、彎矩(或其他量)等于各個載荷單獨引起的反力、彎矩(或其他量)相疊加。這種關系稱為疊加原理。應用疊加原理的前提是構件處在小變形情況下,這時各荷載對構件的影響各自獨立。